Cho dãy số thỏa mãn 2^(u1+1)+2^(3-u2) = 8/(log3(1/4u3^2-4u1+4) và un+1=2un với mọi n>=1 . Giá trị nhỏ nhất của n để Sn=u1+u2+...+un>500^100 bằng

Đáp án C

Dễ thấy $\left(u_n\right)$  là cấp số nhân với công bội $q=2\Rightarrow u_n=u_1{.2}^{n-1}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{u}_2=2u_1\\ u_3=4u_1\end{array}\right.$

Ta có $2^{2u_1+1}+2^{3-u_2}\ge 2\sqrt{2^{2u_1+1}{.2}^{3-u_2}}=2\sqrt{2^{2u_1-u_2+4}}=2\sqrt{2^4}=8$

Lại có $\frac{1}{4}{u}_3^2-4u_1+4=\frac{1}{4}{\left(u_3\right)}^2-u_3+4\ge 3\Rightarrow \frac{8}{{\log }_3\left(\frac{1}{4}{u}_3^2-4u_1+4\right)}\le \frac{8}{{\log }_{3}3}=8$

Do đó, dấu bằng xảy ra khi $u_3=2\Rightarrow u_1=\frac{1}{2}\Rightarrow S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{2^n-1}{2}$

Lại có $S_n>5^{100}\iff \frac{2^n-1}{2}>5^{100}\iff 2^n>{2.5}^{100}+1\iff n>{\log }_2\left({2.5}^{100}+1\right)\approx \mathrm{233,19}$ .