Cho hàm số y=x^3-3x^2 có đồ thị (C) và điểm M(m;-4) .Hỏi có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-10;10] sao cho qua điểm M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến (C) .

Đáp án C

Gọi $A\left(a;a^3-3{\text{a}}^2\right)\in \left(C\right)$

Ta có $y^{\text{'}}=3{\text{x}}^2-6\text{x}\Rightarrow$  phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là:

 $y=\left(3{\text{a}}^2-6\text{a}\right)\left(x-a\right)+a^3-3{\text{a}}^2$

Để d đi qua điểm $M\left(m;-4\right)$  thì: $-4=\left(3{\text{a}}^2-6\text{a}\right)\left(m-a\right)+a^3-3{\text{a}}^2$ .

$\iff \left(a^3-3{\text{a}}^2+4\right)+3\text{a}\left(a-2\right)\left(m-a\right)=0\iff \left(a-2\right)\left(a^2-a-2\right)+\left(a-2\right)\left(3ma-3{\text{a}}^2\right)=0$.

$\iff \left(a-2\right)\left[-2{\text{a}}^2+\left(3m-1\right)a-2\right]=0\iff \left[\begin{array}{l}a=2\\ g\left(a\right)=2{\text{a}}^2-\left(3m-1\right)a+2=0\end{array}\right.$Để qua M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến $\left(C\right)\iff g\left(a\right)=0$  có 2 nghiệm phân biệt khác 0

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta ={\left(3m-1\right)}^2-16>0\\ g\left(2\right)=12-6m\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}3m-1>4\\ 3m-1<-4\end{array}\right.\\ m\ne 2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m>\frac{5}{3}\\ m<-1\end{array}\right.\\ m\ne 2\end{array}\right.$.

Kết hợp $\left\{\begin{array}{l}m\in \mathbb{Z}\\ m\in \left[-10;10\right]\end{array}\right.\Rightarrow$  có 17 giá trị của m.