Cho hàm số f(x)=(2x-m)/(x+2) (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho max|f(x)|+2min|f(x)>=4 . Hỏi trong đoạn [-30;30] tập S có bao nhiêu số nguyên?

Đáp án A

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{4+m}{{\left(x+2\right)}^2}$

- Nếu $m=-4$  thì $f\left(x\right)=2$  thỏa mãn $\underset{\left[0;2\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|+2\underset{\left[0;2\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|\ge 4$ .

- Xét $m\ne -4$ . Ta có $f\left(0\right)=-\frac{m}{2};f\left(2\right)=\frac{4-m}{4}$ .

+ TH1: $\frac{-m}{2}\left(\frac{4-m}{4}\right)\le 0\iff 0\le m\le 4$ .

Khi đó $\underset{\left[0;2\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=0$  và $\underset{\left[0;2\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=\frac{4-m}{4}$  hoặc $\underset{\left[0;2\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=\frac{m}{2}$ .

Theo giả thiết ta phải có $\left[\begin{array}{l}\frac{4-m}{4}\ge 4\\ \frac{m}{2}\ge 4\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m\le -12\\ m\ge 8\end{array}\right.$  (loại).

+ TH2: $-4<m<0$Xét : hàm số $f\left(x\right)$  đồng biến, hơn nữa $f\left(0\right)=-\frac{m}{2}>0;f\left(2\right)=\frac{4-m}{4}>0$  nên

$\underset{\left[0;2\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|+2\underset{\left[0;2\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|\ge 4\iff \frac{4-m}{4}+2\left(\frac{-m}{2}\right)\ge 4\iff m\le -\frac{12}{5}$.

Vậy $-4<m\le -\frac{12}{5}\Rightarrow m=-3$ .

Xét $m<-4$ : hàm số $f\left(x\right)$  nghịch biến, hơn nữa  $f\left(0\right)=-\frac{m}{2}>0;f\left(2\right)=\frac{4-m}{4}>0$ nên

$\underset{\left[0;2\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|+2\underset{\left[0;2\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|\ge 4\iff -\frac{m}{2}+2\left(\frac{4-m}{4}\right)\ge 4\iff m\le -2$.

Vậy $m<-4$ .

Tóm lại: $m\in \left(-\infty ;\frac{-12}{5}\right]\cup \left[6;+\infty \right)$ . Nên trong $\left[-30;30\right]$ , tập S có 53 số nguyên.