Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là anpha thỏa mãn cos anpha=1/3 . Mặt phẳng (P) qua AC và vuông góc với mặt phẳng (S...

Đáp án A

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB

$\Rightarrow AB\perp \left(SHO\right)\Rightarrow \widehat{\left(SAB\right);\left(ABC\right)}=\widehat{\left(SH;OH\right)}=\widehat{SHO}=\alpha$

$\Rightarrow \cos \alpha =\frac{1}{3}\Rightarrow \tan \alpha =\sqrt{\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1}=2\sqrt{2}$

$\Rightarrow SO=OH\tan \alpha =a\sqrt{2}$

Kẻ $CM\perp S\text{D }\left(M\in \left(S\text{D}\right)\right)\Rightarrow P\equiv \left(ACM\right)$ .

Mặt phẳng (ACM) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện M.ACD có thể tích V1 và khối đa diện còn lại có thể tích V2.

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}SH.AB=\frac{a}{2}.\frac{3\text{a}}{2}=\frac{3{\text{a}}^2}{4},S\text{D}=\sqrt{S{O}^2+O{\text{D}}^2}=\frac{a\sqrt{10}}{2}$

$\Rightarrow S_{SC\text{D}}=\frac{1}{2}CM.S\text{D}\Rightarrow SM=\frac{3\text{a}}{\sqrt{10}}$

Tam giác MCD vuông tại M $\Rightarrow M\text{D}=\sqrt{C{\text{D}}^2-M{C}^2}=\frac{a}{\sqrt{10}}\Rightarrow \frac{M\text{D}}{S\text{D}}=\frac{1}{5}$

Ta có: $\frac{V_{M.AC\text{D}}}{V_{S.AC\text{D}}}=\frac{M\text{D}}{S\text{D}}=\frac{1}{5}\Rightarrow V_1=\frac{V_{S.AC\text{D}}}{5}=\frac{V_{S.ABC\text{D}}}{10}=\frac{V_1+V_2}{10}\Rightarrow \frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{9}$ .