Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình bên.

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có $f^2\left(\cos x\right)+\left(3-m\right)f\left(\cos x\right)+2m-10=0$ .

Đặt $t=f\left(\cos x\right)$  ta được phương trình $t^2+\left(3-m\right)t+2m-10=0\iff \left[\begin{array}{l}t=2\\ t=m-5\end{array}\right.$ .

Với $t=2\Rightarrow f\left(\cos x\right)=2\iff \left[\begin{array}{l}\cos x=\frac{1}{2}\\ \cos x=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\pm \frac{\pi }{3}\\ x=0\end{array}\right.$  vì .

Với $t=m-5\Rightarrow f\left(\cos x\right)=m-5$  (1).

Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[-\frac{\pi }{3};\pi \right]$  thì phương trình (1) có đúng 1 nghiệm trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{3};\pi \right]$  khác $-\frac{\pi }{3};0;\frac{\pi }{3}$ .

Với $x\in \left[-\frac{\pi }{3};\pi \right]\Rightarrow u=\cos x\in \left[-1;1\right]$ .

Nhận xét:

Nếu $u\in \left[\frac{1}{2};1\right)$  thì có 2 nghiệm $x\in \left[-\frac{\pi }{3};\pi \right]$ .

Nếu $u=1$  hoặc $u\in \left[-1;\frac{1}{2}\right)$  thì có đúng 1 nghiệm $x\in \left[-\frac{\pi }{3};\pi \right]$ .

$f\left(\cos x\right)=m-5\iff f\left(u\right)=m-5$

Do đó yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi phương trình (1) thỏa mãn  có nghiệm .

Từ bảng biến thiên suy ra $-4\le m-5<2\iff 1\le m<7$ .

Vì $m\in \mathbb{Z}$  nên $m\in \left\{1;2;3;4;5;6\right\}$ .