Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R . Hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình f(2sinx)-2sin^2x

Đáp án B

Đặt $t=2\sin x$ .            

Do $x\in \left(0;\pi \right)\Rightarrow t\in \left(0;2\right)$ .

Bất phương trình trở thành: $f\left(t\right)-\frac{t^2}{2}<m,\forall t\in \left(0;2\right)$ .

Xét $g\left(t\right)=f\left(t\right)-\frac{t^2}{2}$  trên $\left(0;2\right)$ .

Bài toán trở thành $g\left(t\right)<m,\forall t\in \left(0;2\right)$ .

Ta có $g^{\text{'}}\left(t\right)=f^{\text{'}}\left(t\right)-t=0\iff f^{\text{'}}\left(t\right)=t$ .

Ta có bảng biến thiên của hàm g(t)   trên (0;2):

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: $m>\underset{\left(0;2\right)}{\max }g\left(t\right)=g\left(1\right)=f\left(1\right)-\frac{1}{2}$ .

Vậy $m>f\left(1\right)-\frac{1}{2}$ .