Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng 30 độ . Biết AB=5, AC=8, BC=7 , khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ S đến mặt phẳng (ABC)

Khi đó từ giả thiết ta có $\angle SAH=\angle SBH=\angle SCH=30°$

Suy ra $HA=HB=HC$  (gn-cgv)

Suy ra $HA=HB=HC$  hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Tam giác ABC có

$AC=7;AB=5;BC=8\Rightarrow p=\frac{AB+AC+BC}{2}=10$

Theo công thức Hê-rông thì diện tích tam giác ABC là

$S_{ABC}=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}=10\sqrt{3}$

Lại có $S_{ABC}=\frac{AB.AC.BC}{4\text{R}}\Rightarrow R=\frac{\mathrm{5.7.8}}{4\text{S}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$  (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ).

Hay $HA=\frac{7\sqrt{3}}{3}$ .

Xét tam giác SHA vuông tại H có $SH=\tan SAH.AH=\tan 30°.\frac{7\sqrt{3}}{3}=\frac{7}{3}$ .

Thể tích khối chóp S.ABC là $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{7}{3}.10\sqrt{3}=\frac{70\sqrt{3}}{9}$ .

Lại có  vuông tại H nên $SB=\frac{SH}{\sin 30}=\frac{14}{3}=SC$

Xét tam giác SBC có $p_1=\frac{SB+SC+BC}{2}=\frac{19}{3}$  suy ra $S_{\Delta ABC}=\sqrt{p_1\left(p_1-SB\right)\left(p_1-SC\right)\left(p_1-BC\right)}=\frac{8\sqrt{13}}{3}$

Từ đó $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}d\left(A,\left(SBC\right)\right).S_{\Delta SBC}\iff d\left(A,\left(SBC\right)\right)=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{\Delta SBC}}=\frac{3.\frac{70\sqrt{3}}{9}}{\frac{8\sqrt{13}}{3}}=\frac{35\sqrt{39}}{52}$ .