Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a cạnh bên hợp với mặt

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi $O=AC\cap BD.$

Theo bài ra, S.ABCD là hình chóp đều nên $SO\perp \left(ABCD\right)$ và ABCD là hình vuông cạnh a.

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ${60}^0.$ Tức là: $\widehat{SCO}={60}^0.$

Xét tam giác SOC vuông tại O có: $SO=OC.\tan {60}^0=\frac{a\sqrt{6}}{2}.$

Gọi I là trung điểm của CD. Xét tam giác SOI vuông tại O ta có:

$SI=\sqrt{S{O}^2+O{I}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{7}}{2}.$

Hình nón có đỉnh S đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD cạnh a có bán kính bằng $r=\frac{a}{2}$ và đường sinh $SI=\frac{a\sqrt{7}}{2}.$

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng: $S_{xq}=\pi rl=\pi .\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{7}}{2}=\frac{\pi a^2\sqrt{7}}{4}.$