Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

Chọn D.

Để đồ thị hàm số $y=x^3-13x+m$ cắt trục hoành tại ba điểm đều có hoành độ nguyên thì phương trình $x^3-13x+m=0\left(*\right)$ có 3 nghiệm đều nguyên

Ta có: $x^3-13x+m=0\iff -x^3+13x=m$

Xét hàm số $y=-x^3+13x$

Ta có $y\text{'}=-3x^2+13,\forall x\in ℝ;y\text{'}=0\iff -3x^2+13=0\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{39}}{3}\\ x=-\frac{\sqrt{39}}{3}\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Các giá trị m nguyên để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt thì

$\left\{\begin{array}{l}-\frac{26\sqrt{39}}{9}<m<\frac{26\sqrt{39}}{9}\\ m\in \mathbb{Z}\end{array}\right.\iff m\in \left\{0;\pm 1;\pm ;\mathrm{...};\pm 18\right\}.$

Với các giá trị $m\in \left\{0;\pm 1;\pm 2;\mathrm{...};\pm 18\right\}$ để phương trình (*) có 3 nghiệm đều có hoành độ nguyên chỉ có $m=\pm 12$ thỏa mãn.