Số nghiệm của phương trình e^sin(x - pi/4) = tanx trên đoạn [0; 2pi]

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

Điều kiện: $\cos x\ne 0.$

Ta có $e^{\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)}=\tan x$

$\iff e^{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin x-\cos x\right)}=\frac{\sin x}{\cos x}$

$\iff \frac{e^{\frac{\sin x}{\sqrt{2}}}}{\sin x}=\frac{e^{\frac{\cos x}{\sqrt{2}}}}{\cos x}\left(*\right)$

Vì $e^{\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)}>0$ nên $\tan x>0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sin x>0\\ \cos x>0\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}\sin x<0\\ \cos x<0\end{array}\right..$

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{e^{\frac{t}{\sqrt{2}}}}{t},$ có $f\text{'}\left(t\right)=\frac{e^{\frac{t}{2}}\left(t\sqrt{2}-2\right)}{2t^2}<0,\forall t\in \left(-1;0\right)\cup \left(0;1\right).$

$\left(*\right)\iff f\left(\sin x\right)=f\left(\cos x\right)\iff \sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có $0\le x\le 2\pi \iff 0\le \frac{\pi }{4}+k\pi \le 2\pi \Rightarrow k=\left\{0;1\right\}.$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.