Cho khối hộp đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình thoi cạnh a

Ta có $\angle \left(A{C}_1;\left(ABCD\right)\right)=\angle \left(A{C}_1;AC\right)=\angle C_{1}AC={45}^0\Rightarrow \Delta AC{C}_1$ vuông cân tại C

Mà $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2-2.AB.BC.\cos \angle ABC}=a\sqrt{3}\Rightarrow C{C}_1=a\sqrt{3}.$

Ta có $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \angle ABC=\frac{1}{2}.a.a.\sin {120}^0=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}\Rightarrow S_{ABCD}=2S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{2}.$

Vậy $V_{ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1}=C{C}_1.S_{ABCD}=a\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}{a}^2}{2}=\frac{3a^3}{2}.$

Chọn B.