Giả sử m là số thực thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=31+3^x+mx trên R là 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đáp án B

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={31}^x\ln 31+3^x\ln 3+m$ .

TH1: Với $m\ge 0\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)>0$ , $\forall x\in ℝ$ ; suy ra hàm số đồng biến trên  Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

TH2: Với m<0 thì phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff {31}^x\ln 31+3^x\ln 3=-m$ .

Do hàm số $y={31}^x\ln 31+3^x\ln 3$  đồng biến trên R   Phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)=-m{f}^{\text{'}}\left(x\right)=-m$  có nghiệm duy nhất x=a. Do m<0 thì $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ , $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ .

ta có bảng biến thiên