Cho hàm số f(x)=x^4-2x^2+m (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-20;20] sao cho max |f(x)|<3min|f(x) . Tổng các phân tử của S bằng

Đáp án A

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^4-2x^2+m$  trên đoạn $\left[0;2\right]$

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=4x^3-4x$ ; $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff 4x^3-4x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\end{array}\right.$ .

Ta lại có: $f\left(1\right)=m-1$ ; $f\left(2\right)=m+8$ ; $f\left(0\right)=m$ .

$\underset{\left[0;2\right]}{\max }f\left(x\right)=m+8$;  $\underset{\left[0;2\right]}{\min }f\left(x\right)=m-1$.

- Nếu $m-1\ge 0\iff m\ge 1$  thì $\underset{\left[0;2\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=m+8$ ; $\underset{\left[0;2\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=m-1$  .

Khi đó $\underset{\left[0;2\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|<3\underset{\left[0;2\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|\iff 8+m<3\left(m-1\right)\iff m>\frac{11}{2}$ .

- Nếu $m+8\le 0\iff m\le -8$  thì $\underset{\left[0;2\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=1-m$ ; $\underset{\left[0;2\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=-m-8$  .

Khi đó $\underset{\left[0;2\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|<3\underset{\left[0;2\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|\iff 1-m<3\left(-m-8\right)\iff m<-\frac{25}{2}$

- Nếu $\left(m-1\right)\left(m+8\right)<0\iff -8<m<1$  thì $\underset{\left[0;2\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=\max \left\{\left|m+8\right|,\left|1-m\right|\right\}=\max \left\{m+\mathrm{8,1}-m\right\}$ ; $\underset{\left[0;2\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=0$  .

Khi đó, không thỏa mãn điều kiện $\underset{\left[0;2\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|<3\underset{\left[0;2\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|$

Do đó: $\left[\begin{array}{l}m<-\frac{25}{2}\\ m>\frac{11}{2}\end{array}\right.$  kết hợp với $m\in \left[-20;20\right]$  ta có  $m\in \left[-20;-\frac{25}{2}\right)\cup \left(\frac{11}{2};20\right]$

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow S=\left\{-20;-19;-18;\mathrm{...};-13;6;7;\mathrm{...};20\right\}$ .