Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm f'(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn f(1)=.f(0). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đáp án C

Ta có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{f^2\left(x\right)}+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^{2}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[\frac{1}{f^2\left(x\right)}+{\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^2\right]dx\stackrel{AM-GM}{\ge }2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx$ $=2\ln \left|f\left(x\right)\right|\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.=2\ln \left|f\left(1\right)\right|-2\ln \left|f\left(0\right)\right|=2\ln \left|\frac{f\left(1\right)}{f\left(0\right)}\right|=2\ln e=2$.

.

Mà $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{f^2\left(x\right)}+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^{2}dx\le 2$  nên dấu “=” xảy ra, tức là $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{f\left(x\right)}\iff f\left(x\right).f^{\text{'}}\left(x\right)=1$ .

$\Rightarrow \underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right).f^{\text{'}}\left(x\right)dx=\underset{}{\overset{}{\int }}xdx\Rightarrow \frac{f^2\left(x\right)}{2}=x+C\Rightarrow f\left(x\right)=\sqrt{2x+2C}$Theo giả thiết $f\left(1\right)=e.f\left(0\right)$  nên ta có  $\sqrt{2+2C}=e\sqrt{2C}\iff 2+2C=e^2.2C\iff C=\frac{1}{e^2-1}$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\sqrt{2x+\frac{2}{e^2-1}}\Rightarrow f\left(1\right)=\sqrt{2+\frac{2}{e^2-1}}=\sqrt{\frac{2e^2}{e^2-1}}$.