Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại A, góc ABC bằng 30 độ , BC=32, đường thẳng BC có phương trình (x-4)/1=(y-5)/1=(z+7)/-4 đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng anpha :...

Đáp án C

Gọi $B\left(b+4;b+5;-4b-7\right)$  mà $B\in \left(\alpha \right)\Rightarrow b+4-4b-7-3=0\iff b=-2\Rightarrow B\left(2;3;1\right)$ .

Gọi $C\left(c+4;c+5;-4c-7\right)\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\left(c+2;c+2;-4c-8\right)\Rightarrow BC=\sqrt{18{\left(c+2\right)}^2}$  

Mà $BC=3\sqrt{2}\Rightarrow {\left(c+2\right)}^2=1\Rightarrow c=-1\left(V_2-V_1\right)\Rightarrow C\left(3;4;-3\right)$

Ta có $\cos \widehat{ABC}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow AB=BC.cos\widehat{ABC}=3\sqrt{2}.\cos 30°=\frac{3\sqrt{6}}{2}$ ;  $AC=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Gọi  $A\left(x;y;z\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A\in \left(\alpha \right)\\ AB=\frac{3\sqrt{6}}{2}\\ AB=\frac{3\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x+z-3=0\\ {\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=\frac{27}{2}\\ {\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=\frac{9}{2}\end{array}\right.$

Giải hệ, ta được $\left(x;y;z\right)=\left(\frac{9}{2};4;-\frac{3}{2}\right)$ .

Vậy điểm A có hoành độ $x_A=\frac{9}{2}$ .