Cho hai số thực x, y thay đổi giá trị lớn nhất của biểu thức P=x^3+2y^2+8y-x+2 là a/b với a, b là các số nguyên dương và a/b là phân số tối giản. Tính S=a+b .

Đáp án A

Theo giả thiết ta có $-1\le x\le 1$   và có biến đổi

 $4e^{x-4y+\sqrt{1+x^2}}-4e^{y^2+\sqrt{1-x^2}}=y^2-\left(x-4y\right)$

 $\iff x-4y+\sqrt{1-x^2}+4e^{x-4y+\sqrt{1+x^2}}=y^2+\sqrt{1-x^2}+4e^{y^2+\sqrt{1-x^2}}$

$\iff f\left(x-4y+\sqrt{1-x^2}\right)=f\left(y^2+\sqrt{1-x^2}\right)$

$\iff x-4y+\sqrt{1-x^2}=y^2+\sqrt{1-x^2}\iff x=y^2+4y$Trong đó $f\left(t\right)=t+4e^t$  đồng biến trên R.

Do đó $P=x^3-2x^2-x+2+2\left(y^2+4y\right)=f\left(x\right)=x^3-2x^2+x+2\le \underset{\left[-1;1\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{58}{27}$ .