Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, , SAB là tam giác đều, góc SAD bằng 120 độ. Tính thể tích của khối chóp SABCD.

Đáp án A

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp

Ta có $AS=AB=AD\Rightarrow AH\perp \left(SBD\right)\Rightarrow V_{S.ABD}=\frac{1}{3}AH.S_{\Delta SBD}$

Tam giác SBD có $SB=2a$ , $SD=2\sqrt{3}a$ ,   $BD=a\sqrt{13}$

Suy ra $S_{\Delta SBD}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\frac{\sqrt{183}{a}^2}{4}$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta SBD$  là:  $R_{\Delta SBD}=\frac{SB.SD.BD}{4S_{\Delta SBD}}=\frac{4a\sqrt{793}}{61}$

Tam giác SAH có

Do đó thể tích khối chóp S.ABD là $V_{S.ABD}=\frac{1}{3}AH.S_{\Delta SBD}=\frac{1}{3}.\frac{6a\sqrt{61}}{61}.\frac{a^2\sqrt{183}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$ .

Vậy thể tích khối chóp đã cho là $V_{S.ABCD}=2V_{S.ABD}\sqrt{3}{a}^3$ .