Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm y = f'(x - 1) được

Ta có:

     $g\left(x\right)=f\left(2x\right)+2x^2+2x$

$\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=2f\text{'}\left(2x\right)+4x+2$

Cho $g\text{'}\left(x\right)=0\iff f\text{'}\left(2x\right)+2x+1=0\iff f\text{'}\left(2x\right)=-2x-1.$

Đặt 2x = X - 1 ta có $f\text{'}\left(X-1\right)=-X+1-1=-X,$ khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f'(X - 1) và Y = -X

Ta có đồ thị hàm số:

Dựa vào đồ thị $\Rightarrow f\left(X-1\right)=-X\iff \left[\begin{array}{l}X=-2\\ X=-1\\ X=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}2x+1=-2\\ 2x+1=-1\\ 2x+1=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}\\ x=-1\\ x=\frac{1}{2}\end{array}\right.,$ qua các nghiệm này g'(x) đổi dấu.

Ta có $g\text{'}\left(0\right)=2f\text{'}\left(0\right)+2>0$ (do $f\text{'}\left(0\right)>0$) nên ta có BXD g'(x) như sau:

Vậy hàm số $g\left(x\right)=f\left(2x\right)+2x^2+2x$ đồng biến trên khoảng (-1; 0).

Chọn D.