Có bao nhiêu giá trị thực của y để với mỗi y tồn tại đúng 2 giá trị

ĐKXĐ: $4x^2>0\iff x\ne 0.$

Coi phương trình $\ln \left(4x^2\right)=xy+y$ là phương trình ẩn x tham số y.

Ta có $pt\iff \ln \left(4x^2\right)=y\left(x+1\right).$

Với $x=-1\Rightarrow \ln 4=0$ (vô lí) $\Rightarrow x\ne -1.$

$\Rightarrow y=\frac{\ln \left(4x^2\right)}{x+1}=f\left(x\right).$

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{\ln \left(4x^2\right)}{x+1}$ với $x\ne 1,x\ne 0$ ta có $f\text{'}\left(x\right)=\frac{\frac{8x}{4x^2}\left(x+1\right)-\ln \left(4x^2\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{2+\frac{2}{x}-\ln \left(4x^2\right)}{{\left(x+1\right)}^2}.$

Cho $f\text{'}\left(x\right)=0\iff 2+\frac{2}{x}-\ln \left(4x^2\right)=0.$

Tiếp tục xét hàm số $g\left(x\right)=2+\frac{2}{x}-\ln \left(4x^2\right)$ ta có $g\text{'}\left(x\right)=-\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{-2-2x}{x^2},g\text{'}\left(x\right)=0\iff x=-1.$

Dựa vào BBT ta thấy g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = a > 0 và với $\left\{\begin{array}{l}x>a\Rightarrow g\left(x\right)<0\\ 0<x<a\Rightarrow g\left(x\right)>0\\ x<0\Rightarrow g\left(x\right)<0\end{array}\right.$

$\Rightarrow f\left(x\right)=0$ có nghiệm duy nhất x = a > 0

BBT hàm số f(x) như sau:

Do đó để phương trình $y=\frac{\ln \left(4x^2\right)}{x+1}=f\left(x\right)$ có đúng hai nghiệm thì $\left[\begin{array}{l}y=0\\ y=f\left(a\right)\end{array}\right..$

Vậy có 2 giá trị thực của y thỏa mãn.

Chọn C.