Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình bên. Phương trình

Đặt $t=\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)}{\sqrt{2}}=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right).$

Với $x\in \left[\frac{-3\pi }{4};\frac{7\pi }{4}\right]\Rightarrow x+\frac{\pi }{4}\in \left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]\Rightarrow t\in \left[-1;1\right].$

Khi đó phương trình trở thành $2f\left(t\right)+3=0\iff f\left(t\right)=-\frac{3}{2}.$

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng $y=-\frac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = f(t) tại 2 điểm phân biệt $\left[\begin{array}{l}x=t<-1\\ x=t\in \left(-1;0\right)\end{array}\right..$

$\Rightarrow f\left(t\right)=-\frac{3}{2}\iff \left[\begin{array}{l}t=a<-1\\ t=b\in \left(-1;0\right)\end{array}\right..$

Ta có đồ thị hàm số $t=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ trên $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$ như sau:

Dựa vào đồ thị ta thấy, phương trình t = a vô nghiệm, phương trình t = b có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn A.