Số giá trị m nguyên, m thuộc [-20; 20], sao cho

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{{\log }_{0,3}{x}^m+16}{{\log }_{0,3}x+m}\left(x>0\right).$

Đặt $t={\log }_{0,3}x,$ với $x\in \left[\frac{3}{10};1\right]\Rightarrow t\in \left[0;1\right].$ Khi đó hàm số trở thành $f\left(t\right)=\frac{mt+16}{t+m}$ với $t\in \left[0;1\right]$ và x, t ngược tính đơn điệu.

Để tồn tại $\underset{\left[0;1\right]}{\min }f\left(t\right)$ thì $-m\notin \left[0;1\right]\iff \left[\begin{array}{l}-m<0\\ -m>1\end{array}\right.\iff 0<m<1.$

Khi đó $P=\left|\frac{mt+16}{t+m}\right|=\left|\frac{\left(m-16\right)t}{t+1}+16\right|$

Đặt $a=\frac{t}{t+1}\Rightarrow a\in \left[0;\frac{1}{2}\right]$

$\Rightarrow P=\left|\left(m-16\right)a+16\right|$

Và $MinP=16\Rightarrow$ điều kiện cần là $\left[\begin{array}{l}\left(m-16\right)a+16\ge 16\\ \left(m-16\right)a+16\le -16\end{array}\right.;\forall a\in \left[0;\frac{1}{2}\right]$

$\iff \left[\begin{array}{l}\left(m-16\right)a\ge 0\\ \left(m-16\right)a\le -32\left(l\right)\end{array}\right.\Rightarrow m\ge 16$

Khi đó $P=\left(m-16\right)a+16\ge 16$ với dầu bằng xảy ra là a = 0.

Kết hợp điều kiện ta có $16\le m\le 20\Rightarrow$ có 5 giá trị của m.

Chọn A.