Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm SA. Biết hình chiếu vuông góc của S trùng với trọng tâm G của tam giác ACD, góc giữa đường thẳng SB và mặt...

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi O là giao điểm AC và BD.

$\left(SB,\left(ABC\text{D}\right)\right)=\left(SB,BG\right)=\widehat{SBG}=60°$.

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}{a}^2$.

$B\text{D}=a\sqrt{2}\Rightarrow BG=\frac{2}{3}a\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}a$

Trong tam giác vuông SBG có 

$\tan 60°=\frac{SG}{BG}\Rightarrow SG=\tan 60°.BG=\frac{2\sqrt{6}}{3}a$.

$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}.SG=\frac{\sqrt{6}}{9}{a}^3$.

$\Rightarrow V_{A.SBC}=\frac{\sqrt{6}}{9}{a}^2\Rightarrow V_{M.SBC}=\frac{1}{2}{V}_{A.SBC}=\frac{\sqrt{6}}{18}{a}^3$.

Trong tam giác vuông SBG, có $SB=\frac{SG}{\sin 60°}=\frac{4\sqrt{2}}{3}a$  .

Trong tam giác vuông OGC, có $GC=\sqrt{O{C}^2+O{G}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ .

 Trong tam giác vuông SGC, có $SC=\sqrt{S{G}^2+G{C}^2}=\frac{\sqrt{29}}{3}a$ .

$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{7}}{3}{a}^2$.

$\Rightarrow V_{M.SBC}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}.d\left(M,\left(SBC\right)\right)\Rightarrow d\left(M,\left(SBC\right)\right)=\frac{3V_{M.SBC}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{\sqrt{42}}{14}a$.