Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', đáy là tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm AC. Biết tam giác A'MB cân tại A' và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). G...

Đáp án A

Gọi H là trung điểm BM, tam giác A'BM cân tại A' nên $A^{\text{'}}H\perp BM$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\left(A^{\text{'}}BM\right)\perp \left(ABC\right)\\ \left(A^{\text{'}}BM\right)\cap \left(ABC\right)=BM\\ A^{\text{'}}H\perp BM\end{array}\right.\Rightarrow A^{\text{'}}H\perp \left(ABC\right)$

Tam giác ABC đều cạnh a nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}BM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BH=\frac{a\sqrt{3}}{4}\\ S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\end{array}\right.$

 A'B có hình chiếu vuông góc trên (ABC) là HB

Góc tạo bởi A'B với mặt phẳng (ABC) là góc A'BH (vì góc A'BH là góc nhọn)

Xét tam giác A'BH vuông tại H, ta có:

$\widehat{A^{\text{'}}BH}=30°,\tan \widehat{A^{\text{'}}BH}=\frac{A^{\text{'}}H}{BH}\Rightarrow A^{\text{'}}H=\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a}{4}$,

$V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=A^{\text{'}}H.S_{\Delta ABC}=\frac{a}{4}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{16}$.