. Cho tích phân từ 0 đến 2 của x/(x^2+2x+4) với a, b là các số thực. Giá trị của a^2+3b^2 bằng

Đáp án C

Ta có: $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{x}{x^2+2\text{x}+4}d\text{x}=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{x+1}{x^2+2\text{x}+4}-\frac{1}{x^2+2\text{x}+4}\right)d\text{x}$

$=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{x+1}{x^2+2\text{x}+4}d\text{x}-\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x^2+2\text{x}+4}d\text{x}$.

Tính $I_1=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{x+1}{x^2+2\text{x}+4}d\text{x}={\left.\frac{1}{2}\ln \left(x^2+2\text{x}+4\right)\right|}_0^2=\frac{1}{2}\left(\ln 12-\ln 4\right)=\frac{1}{2}\ln 3$ .

Tính $I_2=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x^2+2\text{x}+4}d\text{x}=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+3}d\text{x}$ .

Đặt $x+1=\sqrt{3}\tan u\Rightarrow d\text{x}=\frac{\sqrt{3}}{{\cos }^{2}u}du$ . Đổi cận: $x=0\Rightarrow u=\frac{\pi }{6}$   và $x=2\Rightarrow u=\frac{\pi }{3}$ .

Suy ra $I_2=\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\frac{\sqrt{3}}{{\cos }^{2}u}.\frac{1}{3\left(1+{\tan }^{2}u\right)}du=\frac{1}{\sqrt{3}}\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}du=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6\sqrt{3}}$ .

Vậy $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{x}{x^2+2\text{x}+4}d\text{x}=I_1-I_2=\frac{1}{2}\ln 3-\frac{\pi }{6\sqrt{3}}$ .

Suy ra $a^2+3b^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+3.{\left(\frac{1}{6\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{5}{18}$ .