Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (-3pi;3pi) để đồ thị của hàm số y=2|x|^3-3(m+1)+6m|x|+m^2-3 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.

Đáp án A

+ Xét hàm số$f\left(x\right)=2{\text{x}}^3-3\left(m+1\right)x^2+6m\text{x}+m^2-\mathrm{3,}a=2>0$

Vì $y=2{\left|x\right|}^3-3\left(m+1\right)x^2+6m\left|x\right|+m^2-3$  là hàm chẵn nên để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi $f\left(x\right)=0$  có 3 nghiệm phân biệt trong đó 2 nghiệm dương, 1 nghiệm âm hoặc có 2 nghiệm phân biệt và hai nghiệm đều dương.

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=6{\text{x}}^2-6\left(m+1\right)x+6m=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=m\end{array}\right.$

Ta có $f\left(1\right)=m^2+3m-4;\text{ f}\left(m\right)=-m^3+4m^2-3;\text{ f}\left(0\right)=m^2-3$

+ Nếu m=1 thì f(x)=0 có nghiệm duy nhất nên loại.

+ Nếu $m\ne 1$  thì f(x) có 2 điểm cực trị trong đó có 1 điểm cực trị luôn dương

* f(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt trong đó 2 nghiệm dương, 1 nghiệm âm

$\iff \left\{\begin{array}{l}f\left(m\right).f\left(1\right)<0\\ f\left(0\right)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left(m^2+3m-4\right)\left(-m^3+4m^2-3\right)<0\\ m^2-3>0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m>\frac{3+\sqrt{21}}{2}\\ -4<m<-\sqrt{3}\end{array}\right.$

* f(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt và hai nghiệm đều dương

$\iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ f\left(m\right).f\left(1\right)=0\\ f\left(0\right)<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ \left(m^2+3m-4\right)\left(-m^3+4m^2-3\right)=0\\ m^2-3<0\end{array}\right.\iff m=1\left(l\right)$Vậy có 8 giá trị thỏa mãn.