Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2 tâm I. Gọi là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d: (x+1)/1=(y-3)/-4=z/1 và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) sao...

Đáp án A

Mặt cầu (S) có tâm $I\left(1;-1;1\right)$ , bán kính $R=\sqrt{6}$ .

Gọi x là khoảng cách từ I đến mặt phẳng $\left(\alpha \right),0<x<\sqrt{6}$ . Khi đó, thể tích khối nón đỉnh I, đáy là đường tròn (C)   là: $V=\frac{1}{3}x\left(6-x^2\right)=-\frac{x^3}{3}+2\text{x}$

Xét hàm số $f\left(x\right)=-\frac{x^3}{3}+2\text{x}$ , với $0<x<\sqrt{6}$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=-x^2+2;\left(x\right)=0\iff x=\pm \sqrt{2}$

Hàm số $y=f\left(x\right)$  liên tục trên $\left[0;\sqrt{6}\right]$ , có $f\left(0\right)=f\left(\sqrt{6}\right)=\mathrm{0,}\text{ f}\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}$  , nên $\underset{\left[0;\sqrt{6}\right]}{\max }f\left(x\right)=\sqrt{2}$ , đạt được khi $x=\sqrt{2}$ .

Gọi $\overrightarrow{u}=\left(1;-4;1\right)$  véctơ chỉ phương của đường thẳng d. Vì $IH\perp \left(\alpha \right)$  nên tồn tại số thực k sao cho

$\overrightarrow{IH}=k\overrightarrow{u}$, suy ra $\left|\overrightarrow{IH}\right|=\left|k\right|.\left|\overrightarrow{u}\right|\Rightarrow \left|k\right|=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\frac{1}{3}\Rightarrow k=\pm \frac{1}{3}$  .

Với $k=\frac{1}{3}:\overrightarrow{IH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{u}\Rightarrow H\left(\frac{4}{3};-\frac{7}{3};\frac{4}{3}\right)\Rightarrow \left(\alpha \right):x-4y+z-6=0$  (nhận vì $O\notin \left(\alpha \right)$ )

Với $k=-\frac{1}{3}:\overrightarrow{IH}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{u}\Rightarrow H\left(\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)\Rightarrow \left(\alpha \right):x-4y+z=0$  (loại vì $O\in \left(\alpha \right)$ ).

Vậy $x_H+y_H+z_H=\frac{1}{3}$ .