Trong không gain Oxyz, cho đường thẳng d: (x+1)/2=(y-1)/-1=(z-2)/-1 . Gọi (anpha) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất. Khoảng cách từ M(0;3;...

Đáp án A

Có góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (Oxy) là $\widehat{\left(d;\left(Oxy\right)\right)}$

Góc tạo bởi mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  và mặt phẳng $\left(Oxy\right)$  là $\widehat{\left(\left(\alpha \right);\left(Oxy\right)\right)}$ .

Ta có $\widehat{\left(d;\left(Oxy\right)\right)}\le \widehat{\left(\left(\alpha \right);\left(Oxy\right)\right)}\Rightarrow {\widehat{\left(\left(\alpha \right);\left(Oxy\right)\right)}}_{\min }\iff \widehat{\left(d;\left(Oxy\right)\right)}=\widehat{\left(\left(\alpha \right);\left(Oxy\right)\right)}$

$\sin \widehat{\left(d,\left(\alpha \right)\right)}=\frac{\left|\overrightarrow{u_d}.\overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{u_d}\right|.\left|\overrightarrow{k}\right|}=\frac{1}{\sqrt{6}}\Rightarrow \cos \widehat{\left(d,\left(\alpha \right)\right)}=\frac{\sqrt{30}}{6}$Gọi véctơ pháp tuyến của $\left(\alpha \right)$  là $\overrightarrow{n}=\left(a;b;c\right),{\text{ a}}^2+b^2+c^2\ne 0$

Vì $d\subset \left(\alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{n}\Rightarrow 2\text{a}-b-c=0\Rightarrow c=2\text{a}-b$

$\cos \widehat{\left(\left(Oxy\right),\left(\alpha \right)\right)}=\frac{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{k}\right|}=\frac{\left|2a-b\right|}{\sqrt{a^2+b^2+{\left(2a-b\right)}^2}}=\frac{\sqrt{30}}{6}$$\iff 36\left(4a^2-4ab+b^2\right)=30\left(5a^2-4ab+2b^2\right)$

$\iff 6a^2+24ab+24b^2=0\iff 6{\left(a+2b\right)}^2=0\iff a=-2b$Chọn $\overrightarrow{n}=\left(2;-1;5\right)$ .

Vậy $\left(\alpha \right)$  đi qua $A\left(-1;1;2\right)\in \text{d}$  và có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;-1;5\right)\Rightarrow \left(\alpha \right):2\text{x}-y+5\text{z}-7=0$ .

Ta có: $d_{\left(M,\left(\alpha \right)\right)}=\frac{30}{\sqrt{30}}=\sqrt{30}$ .