Gọi n là số nguyên dương sao 1/log3x+1/log3x+...+1/log3x=190/log3 x cho đúng với mọi x dương, x khác 1 . Tìm giá trị của biểu thức P=2n+3 .

Đáp án B

Với $\forall x>\mathrm{0,}x\ne 1$  ta có: $\frac{1}{{\log }_{3}x}+\frac{1}{{\log }_{3^2}x}+\frac{1}{{\log }_{3^3}x}+\mathrm{...}+\frac{1}{{\log }_{3^n}x}=\frac{190}{{\log }_{3}x}$

$\begin{array}{l}\iff {\log }_{x}3+{\log }_x{3}^2+\mathrm{...}+{\log }_x{3}^n=190.{\log }_{x}3\iff {\log }_x\left({3.3}^2{.3}^3{\mathrm{...3}}^n\right)=190.{\log }_{x}3\\ \iff {\log }_x{3}^{1+2+3+\mathrm{...}+n}=190.{\log }_{x}3\iff \frac{n\left(n+1\right)}{2}=190\iff n\left(n+1\right)=380\iff n=19\\ \Rightarrow P=2n+3=2.19+3=41.\end{array}$