Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B. Đặt anpha là...

Đáp án A

Lấy điểm $A\text{'}\in \left(O\text{'}\right),B\text{'}\in \left(O\right)$  sao cho AA’, BB’ song song với trục OO’.

Khi đó ta có lăng trụ đứng OAB’.O’A’B.

Ta có: $\begin{array}{l}{V}_{OO\text{'}AB}=V_{OAB\text{'}.O\text{'}A\text{'}B}-V_{A.O\text{'}A\text{'}B}-V_{B.OAB\text{'}}\\ =V_{OAB\text{'}.O\text{'}A\text{'}B}-\frac{1}{3}{V}_{OAB\text{'}.O\text{'}A\text{'}B}-\frac{1}{3}{V}_{OAB\text{'}.O\text{'}A\text{'}B}=\frac{1}{3}{V}_{OAB\text{'}.O\text{'}A\text{'}B}\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow V_{OO\text{'}AB}=\frac{1}{3}.AA\text{'}.S_{\Delta OAB\text{'}}=\frac{1}{6}.AA\text{'}.OA.OB.\sin \widehat{AOB\text{'}}=\frac{1}{6}.2a.2a.2a.\sin \widehat{AOB\text{'}}\\ =\frac{1}{6}.8a^3.\sin \widehat{AOB\text{'}}=\frac{4a^3}{3}\sin \widehat{AOB\text{'}}\end{array}$Do đó để $V_{OO\text{'}AB}$  lớn nhất $\iff \sin \widehat{AOB\text{'}}=1\iff \widehat{AOB\text{'}}=90°\iff OA\perp OB\text{'}$ .

$\Rightarrow O\text{'}A\text{'}\perp O\text{'}B\Rightarrow \Delta O\text{'}A\text{'}B$ vuông tại $O\text{'}\Rightarrow A\text{'}B=\sqrt{2}O\text{'}A\text{'}=2a\sqrt{2}$ .

Ta có: $AA\text{'}\perp \left(O\text{'}A\text{'}B\right)\Rightarrow \widehat{\left(AB,\left(O\text{'}A\text{'}B\right)\right)}=\widehat{ABA\text{'}}=\alpha \Rightarrow \tan \alpha =\frac{AA\text{'}}{A\text{'}B}=\frac{2a}{2a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$