Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân ở B. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC , đi qua AG và song song với BC chia khối chóp thành hai phần. Gọi V là thể tích của khối...

Đáp án A

Trong $\left(SBC\right)$  qua G kẻ $MN//BC\left(M\in SB,N\in SC\right)$ .

Khi đó mặt phẳng đi qua AG và song song với BC chính là mặt phẳng (AMN).

Mặt phẳng này chia hai khối chóp thành 2 khối S.AMN và AMNBC.

Gọi H là trung điểm của BC.

Vì $MN//BC$ ; theo định lý Ta-lét ta có: $\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}=\frac{2}{3}\left(=\frac{SG}{SH}\right)$ .

$\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{4}{9}{V}_{S.ABC}$.

Mà $V_{S.AMN}+V_{AMNBC}=V_{S.ABC}\Rightarrow V_{AMNBC}=\frac{5}{9}{V}_{S.ABC}=V$ .

Ta có  vuông cân tại $B\Rightarrow AB=BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=a\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}{a}^2$ .

$\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SA.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.a^2=\frac{a^3}{6}$.

Vậy $V=\frac{5}{9}.\frac{a^3}{6}=\frac{5a^3}{54}$ .