Trong không gian Oxyz, lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC=1 . Trên hai tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A, B thay đổi sao cho OA+OB=OC . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ng...

Đáp án A

Giả sử $A\left(a;0;0\right),B\left(0;b;0\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}OA=\left|a\right|\\ OB=\left|b\right|\end{array}\right..$

Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và OC.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}OC\perp OA\\ OC\perp OB\end{array}\right.\Rightarrow OC\perp \left(OAB\right)$ .

Qua M dựng đường thẳng song song với OC, qua N dựng đường thẳng song song với OM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I.

$\Delta OAB$vuông tại $O\Rightarrow M$  là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta OAB\Rightarrow IO=IA=IB.$

 $I\in IN\Rightarrow IO=IC\Rightarrow IO=IA=IB=IC\Rightarrow I$là tâm mặt cầu ngoại tiếp O.ABC.

Ta có: $OM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}$ .

Vậy $\begin{array}{l}R=OI=\sqrt{I{M}^2+O{M}^2}=\sqrt{\frac{c^2}{4}+\frac{a^2+b^2}{4}}=\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}\frac{\sqrt{a^2+\left(1-a^2\right)+1}}{2}=\frac{\sqrt{2a^2-2a+2}}{2}\\ =\frac{\sqrt{2\left(a^2-a+1\right)}}{2}=\frac{\sqrt{2\left(a^2-2.a.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\right)}}{2}=\frac{\sqrt{2{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}}}{2}\ge \frac{\sqrt{6}}{4}.\end{array}$