Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [0;4] và thỏa mãn điều kiện. Tính tích phân từ 0 đến 1 f(x)dx .

Đáp án A

Ta có: $4xf\left(x^2\right)+6f\left(2x\right)=\sqrt{4-x^2}\Rightarrow \underset{0}{\overset{2}{\int }}\left[4xf\left(x^2\right)+6f\left(2x\right)\right]dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\sqrt{4-x^2}dx$ $\iff 4I_1+6I_2=I$.

.

Trong đó: $I_1=\underset{0}{\overset{2}{\int }}xf\left(x^2\right)dx=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x^2\right)d\left(x^2\right)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx.$

$\begin{array}{l}{I}_2=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2x\right)dx=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2x\right)d\left(2x\right)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx.\\ I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\sqrt{4-x^2}dx=2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{4-4{\sin }^2\left(t\right)}\cos \left(t\right)dt=4\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^2\left(t\right)dt=2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(1+\cos \left(2t\right)\right)dt=\left[2t+\sin \left(2t\right)\right]\left|\begin{array}{l}{}^{\frac{\pi }{2}}\\ {}_0\end{array}\right.=\pi \end{array}$

Khi đó ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}{I}_1=I_2\\ 4I_1+6I_2=\pi \end{array}\right.\iff I_1=I_2=\frac{\pi }{10}\iff \frac{1}{2}\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{\pi }{10}$  hay $\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{\pi }{5}$ .