Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60 độ

Gọi $O=AC\cap BD$.

Trong (SAC) gọi $G=AI\cap SO\Rightarrow G=AI\cap \left(SBD\right)$ và G là trọng tâm $\Delta SAC$.

Ta có: $AI\cap \left(SBD\right)=G\Rightarrow \frac{d\left(I;\left(SBD\right)\right)}{d\left(A;\left(SBD\right)\right)}=\frac{IG}{AG}=\frac{1}{2}.$

Trong (SAC) kẻ $AH\perp SO$ ta có:

$\left\{\begin{array}{l}BD\perp AC\\ BD\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BD\perp \left(SAC\right)\Rightarrow BD\perp AH$

$\left\{\begin{array}{l}AH\perp BD\\ AH\perp SO\end{array}\right.\Rightarrow AH\perp \left(SBD\right)\Rightarrow d\left(A;\left(SBD\right)\right)=AH$

Vì $SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow AC$ là hình chiếu của SC lên $\left(ABCD\right)\Rightarrow \angle \left(SC;\left(ABCD\right)\right)=\angle SCA={45}^0.$

$\Rightarrow \Delta SAC$ vuông cân tại A.

Xét tam giác ABD có $\left\{\begin{array}{l}AB=AD=a\\ \angle BAD={60}^0\end{array}\right.\Rightarrow \Delta ABD$ đều cạnh $a\Rightarrow AO=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AC=a\sqrt{3}.$

$\Rightarrow SA=AC=a\sqrt{3}.$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAO có: $AH=\frac{SA.AO}{\sqrt{S{A}^2+A{O}^2}}=\frac{a\sqrt{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3a^2+\frac{3a^2}{4}}}=\frac{a\sqrt{15}}{5}.$

Vậy 

Chọn D.