Có tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức sau: log2 a+ log3 a+ log5 a= log2 a.log3 a. log5 a

Đáp án C

Điều kiện:  $a>0$

Ta có:  ${\log }_{2}a+{\log }_{3}a+{\log }_{5}a={\log }_{2}a.{\log }_{3}a.{\log }_{5}a$

 $\iff {\log }_{2}a+{\log }_{3}2.{\log }_{2}a+{\log }_{5}2.{\log }_{2}a={\log }_{2}a.{\log }_{3}2.{\log }_{2}a.{\log }_{5}2.{\log }_{2}a$

 $\iff {\log }_{2}a(1+{\log }_{3}2+{\log }_{5}2)={\log }_2^{3}a.{\log }_{3}2.{\log }_{5}2$

 $\iff {\log }_{2}a({\log }_2^{2}a.{\log }_{3}2.{\log }_{5}2-1-{\log }_{3}2-{\log }_{5}2)=0$

 $\iff [\begin{array}{l}{\log }_{2}a=0\\ {\log }_2^2.{\log }_{3}2.{\log }_{5}2-1-{\log }_{3}2-{\log }_{5}2=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}a=1\\ {\log }_2^{2}a=\frac{1+{\log }_{3}2+{\log }_{5}2}{{\log }_{3}2.{\log }_{5}2}\end{array}$

 $\iff [\begin{array}{l}a=1\\ {\log }_{2}a=\sqrt{\frac{1+{\log }_{3}2+{\log }_{5}2}{{\log }_{3}2.{\log }_{5}2}}=t_1\\ {\log }_{2}a=-\sqrt{\frac{1+{\log }_{3}2+{\log }_{5}2}{{\log }_{3}2.{\log }_{5}2}}=t_2\end{array}\iff [\begin{array}{l}a=1\\ a=2^{t_1}>0\\ a=2^{t_2}>0\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm  $a>0.$