Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để hàm số y=x^3-3x^2+3mx+2019 nghịch biến trên khoảng (1;2)

Đáp án A

TXĐ: $D=ℝ.$  Ta có: $y^{\text{'}}=3x^2-6x+3m$  .

Để hàm số đã cho nghịch biến trên (1;2) thì $y^{\text{'}}\le \mathrm{0,}\forall x\in (1;2)$  và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

$\iff 3x^2-6x+3m\le 0\forall x\in (1;2)\iff x^2-2x+m\le 0\forall x\in (1;2)$

$\iff {(x-1)}^2+m-1\le 0\forall x\in (1;2)\iff 1-m\ge {(x-1)}^2\forall x\in (1;2)$

Hàm số $y={(x-1)}^2$  đồng biến trên $(1;+\infty )$  nên cũng đồng biến trên (1;2).

$\Rightarrow {(1-1)}^2<{(x-1)}^2<{(2-1)}^2\iff 0<{(x-1)}^2<1$

$\Rightarrow 1-m\ge {(x-1)}^2\forall x\in (1;2)\iff 1-m\ge 1\iff m\le 0$

Lại có $m\in [-10;10]$  và $m\in Z$  nên $m\in \{-10;-9;\dots ;0\}$ .

Vậy có 11 giá trị của m.