Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác cân tại A, AB=2a , góc BAC=120 . Hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC. Thể tích...

Đáp án D

Gọi H là trung điểm của BC.

Xét $\Delta ABC$  có $BH=2a.\sin 60°=a\sqrt{3}$ , $AH=2a.\cos 60°=a$ .

Xét $A^{\text{'}}HA$  vuông tại H có $A^{\text{'}}H=\sqrt{{\left(2a\right)}^2-a^2}=a\sqrt{3}$ .

Xét khối lăng trụ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}.ABC$  có ,$h=A^{\text{'}}H=a\sqrt{3}$ ,$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=a^3\sqrt{3}$.

Suy ra  $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=a\sqrt{3}.a^3\sqrt{3}=3a^3$

Suy ra $V_{A^{\text{'}}.ABC}=\frac{1}{3}{V}_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=a^3$

Mặt khác ta có $V_{A^{\text{'}}.BC{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}-V_{A^{\text{'}}.ABC}=3a^3-a^3=2a^3$ .