Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn hệ thức tích phân f(x)sinxdx=-f(x)cosx+ tích phân pi^xcosxdx. Hỏi hàm số y=f(x) là hàm số nào trong các hàm số sau?

Đáp án B

Hệ thức $\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)\sin xdx=-f\left(x\right)\cos x+\underset{}{\overset{}{\int }}{\pi }^x\cos xdx$                    .

Xét $\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)\sin xdx$ . Đặt  $\{\begin{array}{l}u=f\left(x\right)\Rightarrow du=f^{\text{'}}\left(x\right)\\ dv=\sin xdx\Rightarrow v=-\cos x\end{array}$

Ta được $\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)\sin xdx=-f\left(x\right)\cos x+\underset{}{\overset{}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\cos xdx$

Theo hệ thức (1), suy ra $f^{\text{'}}\left(x\right)={\pi }^2$ .

Dựa vào đáp án, ta nhận thấy có một hàm số thỏa mãn là $f\left(x\right)=\frac{{\pi }^2}{\ln \pi }$ .