Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng (0; dương vô cực) và f(x)>0, với mới x thuộc (0; dương vô cực) thỏa mãn với mọi x thuộc (0: dương vô cực), biết f(1)=2/(a+3) và f(2)>1/4. Tổng tất...

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Trên $(0;+\infty )$  ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=-x.f^2\left(x\right)\iff -\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}=x\iff {\left(\frac{1}{f\left(x\right)}\right)}^{\text{'}}=x$ .

$\underset{}{\overset{}{\int }}{\left(\frac{1}{f\left(x\right)}\right)}^{\text{'}}dx=\underset{}{\overset{}{\int }}xdx\iff \frac{1}{f\left(x\right)}=\frac{x^2}{2}+C$.

Có $f\left(1\right)=\frac{2}{a+3}\Rightarrow \frac{2}{a+3}=\frac{1}{2}+C\iff C=\frac{a+2}{2}$ .

$\frac{1}{f\left(2\right)}=2+\frac{a+2}{2}\Rightarrow f\left(2\right)=\frac{2}{a+6}$;

Ta có $\frac{1}{f\left(x\right)}=\frac{x^2}{2}+\frac{a+2}{2}$ . Do đó $f\left(x\right)>0$ , $\forall x\in (0;+\infty )\iff a\ge -2$ .

Có $a\in \mathbb{Z}\Rightarrow a\in \{-2;-1;0;1\}$ . Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của a cần tìm là –2.