Cho tam giác đều ABC cạnh a, dựng về cùng một phía của mặt phẳng (ABC) các tia Ax, By vuông góc với mặt phẳng (ABC). Lấy các điểm A' thuộc Ax, B' thuộc By sao cho AA'=2a, BB'=a . K...

Ta có $Ax\perp \left(ABC\right)$  và $By\perp \left(ABC\right)$  nên $\Delta ABC$  là hình chiếu của  trên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ .

Do đó   $\cos \widehat{(\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C\right),\left(ABC\right))}=\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C}}$

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin BAC=\frac{1}{2}a.a.\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$.

$A^{\text{'}}C=\sqrt{A^{\text{'}}{A}^2+A{C}^2}=a\sqrt{5}$; $B^{\text{'}}C=\sqrt{B^{\text{'}}{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$ ;  $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=\sqrt{A{B}^2+B^{\text{'}}{B}^2}=a\sqrt{2}$

 $\Rightarrow \Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C$cân tại  $B^{\text{'}}\Rightarrow B^{\text{'}}H=\sqrt{B^{\text{'}}{C}^2-\frac{A^{\text{'}}{C}^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

 $S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C}=\frac{1}{2}{B}^{\text{'}}H.A^{\text{'}}C=\frac{a^2\sqrt{15}}{4}\Rightarrow \cos \widehat{(\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C\right),\left(ABC\right))}=\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$