Cho phương trình: e^2m+e^m=2(x+căn (1-x^2)(1+x căn 1-x^2) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.

Đáp án B

Điều kiện: $1-x^2\ge 0\iff -1\le x\le 1$ .

Đặt $x+\sqrt{1-x^2}=t\Rightarrow t^2=x^2+1-x^2+2x\sqrt{1-x^2}=1+2x\sqrt{1-x^2}\Rightarrow x\sqrt{1-x^2}=\frac{t^2-1}{2}$ .

Ta có: $t\left(x\right)=x+\sqrt{1-x^2},x\in [-1;1]$ .

$\Rightarrow t\text{'}\left(x\right)=1-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}=0\iff \sqrt{1-x^2}=x\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 1-x^2=x^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2=\frac{1}{2}\end{array}\iff x=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có: $t\in [-1;\sqrt{2}]$ .

Khi đó phương trình trở thành: $e^m+e^{3m}=2t(1+\frac{t^2-1}{2})=t(t^2+1)=t^3+t(*)$ .

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3+t$  ta có $f\text{'}\left(t\right)=3t^2+1>\mathrm{0,}\forall t\Rightarrow$  Hàm số đồng biến trên  Hàm số đồng biến trên $(-1;\sqrt{2})$

Từ $(*)\Rightarrow f\left(e^m\right)=f\left(t\right)\iff e^m=t\iff m=\ln t\Rightarrow m\in (0;\ln \sqrt{2})=(0;\frac{1}{2}\ln 2).$