Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ bên biết f(2)=-4, f(3)=0 . Bất phương trình f(e^x)

Đáp án B

Đặt $t=e^x$ .

Do $x\in (\ln 2;1)\Rightarrow t\in (2;e)$ .

Bất phương trình đã cho trở thành: $f\left(t\right)<m(3t+2019)$  có nghiệm trên $(2;e)$ .

$\iff m>\frac{f\left(t\right)}{3t+2019}$ có nghiệm trên $(2;e)$ .

Xét hàm số $g\left(t\right)=\frac{f\left(t\right)}{3t+2019}$  trên (2;e).

Bài toán trở thành tìm m để $m>g\left(t\right)$  có nghiệm trên

$\iff m>\underset{[2;e]}{\min }g\left(t\right)$.

Ta có: $g\text{'}\left(t\right)=\frac{f\text{'}\left(t\right).(3t+2019)-3f\left(t\right)}{{(3t+2019)}^2}>0.$

Nhận xét: Với $t\in (2;e)\Rightarrow \{\begin{array}{l}f\text{'}\left(t\right)>0\\ 2025<3t+2019<3e+2019\\ -4<f\left(t\right)<0\end{array}\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)>0$ .

Do đó ta có: $m>\underset{[2;e]}{\min }g\left(t\right)=g\left(2\right)=\frac{f\left(2\right)}{2025}=-\frac{4}{2025}.$

Vậy $m>-\frac{4}{2025}.$