Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc (ABC) góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 độ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.

Đáp án A

Ta có $SA\perp \left(ABC\right)\Rightarrow AB$  là hình chiếu của SB lên .

$\widehat{(SB,\left(ABC\right))}=\widehat{(SB,AB)}=\widehat{SBA}=60°$.

Dựng hình bình hành ACBD.

Ta có: $BD//AC\Rightarrow \left(SBD\right)//AC$ .

$\Rightarrow d(AC;SB)=d(AC;\left(SBD\right))=d(A;\left(SBD\right))$.

Do tam giác ABC đều $\Rightarrow AC=CB=AB=a$ .

Mà $AC=BD;CB=AD\Rightarrow AB=AD=BD=a\Rightarrow \Delta ABD$  đều cạnh a.

Gọi M là trung điểm của $BD\Rightarrow AM\perp BD$  và $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ $\{\begin{array}{l}BD\perp AM\\ BD\perp SA(SA\perp \left(ABCD\right))\end{array}\Rightarrow BD\perp \left(SAM\right)$.

Ta có: .

Trong $\left(SAM\right)$  kẻ $AH\perp SM\Rightarrow AH\perp BD(BD\perp \left(SAM\right))\Rightarrow AH\perp \left(SBD\right)$ .

.

Xét tam giác vuông SAB ta có $SA=AB.\tan 60°=a\sqrt{3}$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAM ta có: $AH=\frac{SA.AM}{\sqrt{S{A}^2+A{M}^2}}=\frac{a\sqrt{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3a^2+\frac{3a^2}{4}}}=\frac{a\sqrt{15}}{5}$ .

Vậy $d(AC;SB)=\frac{a\sqrt{15}}{5}$ .