Cho hàm f(x) liên tục trên [0;1] , biết tích phân từ 0 đén 1 của (f(x)^2+2ln^2(2/e)dx)=2 tích phân từ 0 đến 1 của f(x)ln(x_+1)dx Tích phân I= tích phân từ 0 đến 1 f(x)dx

Đáp án B

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta tính được:

 $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\ln }^2(x+1)dx=2{\ln }^2\frac{2}{e}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}2{\ln }^2\frac{2}{e}dx.$

Do đó giả thiết tương đương với:

 $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{[f\left(x\right)-\ln (x+1)]}^{2}dx=0\iff f\left(x\right)=\ln (x+1),\forall x\in [0;1]$

Suy ra   $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln (x+1)dx=\ln \frac{4}{e}.$