Cho hàm số y=f(x)=(2x+m)/(x-1) Tính tổng các giá trị của tham số m để |maxf(x)-minf(x)|=2

Đáp án A

Hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x+m}{x-1}$  xác định và liên tục trên đoạn   $[2;3]$

Với $m=-2$ , hàm số trở thành $y=2\Rightarrow \underset{[2;3]}{\max }f\left(x\right)=\underset{[2;3]}{\min }f\left(x\right)=2$  (không thỏa mãn).

Với $m\ne -\mathrm{2,}$  ta có  $y^{\text{'}}=\frac{-2-m}{{(x-1)}^2}.$

Khi đó hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên  $[2;3].$ 

Suy ra   $[\begin{array}{l}\underset{[2;3]}{\max }f\left(x\right)=f\left(2\right);\underset{[2;3]}{\min }f\left(x\right)=f\left(3\right)\\ \underset{[2;3]}{\max }f\left(x\right)=f\left(3\right);\underset{[2;3]}{\min }f\left(x\right)=f\left(2\right)\end{array}$

Do đó:  $|\underset{[2;3]}{\max }f\left(x\right)-\underset{[2;3]}{\min }f\left(x\right)|=|f\left(3\right)-f\left(2\right)|=|\frac{6+m}{2}-(4+m)|=\left|\frac{2+m}{2}\right|$

Theo giả thiết  $|\underset{[2;3]}{\max }f\left(x\right)-\underset{[2;3]}{\min }f\left(x\right)|=2\iff \left|\frac{2+m}{2}\right|=2\iff [\begin{array}{l}m=2\\ m=-6\end{array}.$

Vậy tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là  -4