Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị hàm y=f'(x) như hình vẽ

Đáp án B

Bài toán tương đương với: $m<f(x+1)-\frac{1}{3}{x}^3+x$  có nghiệm trên  $[0;2]$

Xét hàm số $g\left(x\right)=f(x+1)-\frac{1}{3}{x}^3+x$  trên  $[0;2].$

Bài toán trở thành tìm m để $m<g\left(x\right)$  có nghiệm trên  $[0;2]$ 

$\iff m<\underset{[0;2]}{\max }g\left(x\right)$                           

Ta có   $g^{\text{'}}\left(x\right)=f^{\text{'}}(x+1)-x^2+1=0.$

TH1:  $x\in [0;1)\Rightarrow \{\begin{array}{l}0<f^{\text{'}}(x+1)\\ 0<-x^2+1\end{array}\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)>0$

TH2:  $x=1\Rightarrow \{\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}(x+1)=0\\ -x^2+1=0\end{array}\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=0.$

Suy ra  $g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=1.$

TH3:  $x\in (1;2]\Rightarrow \{\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}(x+1)<0\\ -x^2+1<0\end{array}\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)<0.$

Ta có bảng biến thiên của hàm g(x) trên  [0;2]

Dựa vào bảng biến thiên ta có  $m<\underset{[0;2]}{\max }g\left(x\right)=g\left(2\right)=f\left(2\right)+\frac{2}{3}.$

Vậy  $m<f\left(2\right)+\frac{2}{3}.$