Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log2 x+log2 (x+3y)<=2+2log 2y Biết giá trị lớn nhất của biểu thức

Đáp án D

Theo giả thiết ta có:  ${\log }_2(x^2+3xy)\le {\log }_2\left(4y^2\right)\iff x^2+3xy\le 4y^2\iff {\left(\frac{x}{y}\right)}^2+3\left(\frac{x}{y}\right)\le 4$

 $\Rightarrow 0<t=\frac{x}{y}\le 1.$

Khi đó $S=f\left(t\right)=\frac{t+1}{\sqrt{t^2-t+2}}-\frac{2t+3}{t+2}$  (với ).

Ta có  $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{5-3t}{2\sqrt{{(t^2-t+2)}^3}}-\frac{1}{{(t+2)}^2}\ge \frac{2}{2\sqrt{2^3}}-\frac{1}{{(t+2)}^2}=\frac{{(t+2)}^2-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}{(t+2)}^2}>0$

Do đó  $\max S=\underset{(0;1]}{\max }f\left(t\right)=f\left(1\right)=\sqrt{2}-\frac{5}{3}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=2\\ b=5\\ c=3\end{array}\Rightarrow P=10.$