Cho số phức z=(2+6i/ 3-i)^m, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m thuộc [1;50] để z là số thuần ảo?

Đáp án A

Ta có  $z={\left(\frac{2+6i}{3-i}\right)}^m={\left(\frac{(2+6i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}\right)}^m={\left(2i\right)}^m=2^m.i^m$

+ Với $m=4k(k\in \mathbb{Z})$  thì  $z=2^m$

+ Với $m=4k+2(k\in \mathbb{Z})$  thì  $z=-2^m$

+ Với $m=4k+1(k\in \mathbb{Z})$  thì  $z=2^m.i$

+ Với $m=4k+3(k\in \mathbb{Z})$  thì  $z=-2^m.i$

Vậy để z là số thuần ảo thì $[\begin{array}{l}m=4k+1\\ m=4k+3\end{array}(k\in \mathbb{Z})$  mà  $1\le m\le 50$

Nên  $[\begin{array}{l}1\le 4k+1\le 50\\ 1\le 4k+3\le 50\end{array}\iff [\begin{array}{l}0\le 4k\le 49\\ -2\le 4k\le 47\end{array}\iff [\begin{array}{l}0\le k\le \mathrm{12,25}\\ -\mathrm{0,5}\le k\le \mathrm{11,75}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}k\in \{0;1;2;3;\mathrm{...};12\}\\ k\in \{0;1;2;\mathrm{....};11\}\end{array}$

Vậy có tất cả  giá trị của k thỏa mãn điều kiện, tức cũng có 25 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài.