Cho hình chóp đều S.ABCD có SA=a căn5, AB=a . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng DN và mặt phẳng (MQP) ?

Đáp án A

Dễ dàng chứng minh được MNPQ đồng phẳng và $\left(MNPQ\right)//\left(ABCD\right)$  dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác.

$\Rightarrow \widehat{(DN,\left(MQP\right))}=\widehat{(DN,\left(MNP\right))}=\widehat{(DN,\left(ABCD\right))}$.

Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\perp \left(ABCD\right)$ .

Gọi H là trung điểm của OB.

Xét tam giác SOB có NH là đường trung bình

$\Rightarrow NH//SO\Rightarrow NH\perp \left(ABCD\right)$.

DH là hình chiếu của DN trên .

$\Rightarrow \widehat{(DN,\left(ABCD\right))}=\widehat{(DN,DH)}=\widehat{NDH}$.

ABCD là hình vuông cạnh $a\Rightarrow BD=a\sqrt{2}\Rightarrow DH=\frac{3}{4}BD=\frac{3a\sqrt{2}}{4},OB=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Xét tam giác vuông SOB có $SO=\sqrt{S{B}^2-O{B}^2}=\frac{3a}{\sqrt{2}}\Rightarrow NH=\frac{1}{2}SO=\frac{3a}{2\sqrt{2}}.$

Xét tam giác vuông NHD có: $ND=\sqrt{N{H}^2+H{D}^2}=\sqrt{\frac{9a^2}{8}+\frac{9a^2}{8}}=\frac{3a}{2}.$

$\Rightarrow \cos \widehat{NDH}=\frac{DH}{ND}=\frac{\frac{3a\sqrt{2}}{4}}{\frac{3a}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$