Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y=mx^4-(m-5)x^2-3 đồng biến trên khoảng (0; dương vô cực) .

Đáp án A

Ta có: $y\text{'}=4m{x}^3-2(m-5)x$ .

TH1:$m=0\Rightarrow y\text{'}=10x>0\iff x>0\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên khoảng .

Do đó $m=0$  thỏa mãn.

TH2: $m\ne 0$

Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$  khi và chỉ khi $y\text{'}\ge 0\forall x\in (0;+\infty )$ .

$\begin{array}{l}4m{x}^3-2(m-5)x\ge \mathrm{0,}\forall x\in (0;+\infty )\iff x[4m{x}^2-2(m-5)]\ge \mathrm{0,}\forall x\in (0;+\infty )\\ \iff 4m{x}^2-2(m-5)\ge \mathrm{0,}\forall x\in (0;+\infty )\iff g\left(x\right)=2m{x}^2-m+5\ge \mathrm{0,}\forall x\in (0;+\infty )\\ \iff \underset{[0;+\infty )}{\min }g\left(x\right)\ge 0\end{array}$

Xét hàm số $g\left(x\right)=2m{x}^2-m+5$  ta có $g\text{'}\left(x\right)=4mx=0\iff x=0$ .

TH1: $m>0$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên $\Rightarrow g\left(0\right)\ge 0\iff -m+5\ge 0\iff m\le 5\Rightarrow 0<m\le 5$ .

TH2: $m<0\Rightarrow$ Không tồn tại $\underset{[0;+\infty )}{\min }g\left(x\right)$ .

Vậy $0\le m\le 5$ .