Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ bằng

Đáp án B

Gọi O, O' lần lượt là tâm đáy, I là trung điểm của  thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ và bán kính .

Ta có: $A^{\text{'}}{O}^{\text{'}}=\frac{2}{3}{A}^{\text{'}}{M}^{\text{'}}=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3};=\frac{1}{2}O{O}^{\text{'}}=\frac{b}{2}$ .

Do đó $I{A}^{\text{'}}=\sqrt{I^2+A^{\text{'}}{O^{\text{'}}}^2}=\sqrt{\frac{b^2}{3}+\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{4{\text{a}}^2+3b^2}{12}}$

Thể tích khối cầu

$V=\frac{4}{3}\pi I{A}^2=\frac{4}{3}\pi \left(\sqrt{\frac{4{\text{a}}^2+3b^2}{12}}\right)=\frac{4\pi }{\mathrm{3.12.}\sqrt{12}}\sqrt{{(4{\text{a}}^2+3b^2)}^3}=\frac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{(4{\text{a}}^2+3b^2)}^3}$.